On travaille dans le plan de la trajectoire de la cible (on oublie z, que l'on peut rajouter sans peine car l'équation est découplée). Le vaisseau cible ("S" comme Soyouz) tourne autour de la terre sur une orbite circulaire, on écrit que son accélération est égale à la force de graviation de Newton.  Dans le repère lié à la cible, la position du vaisseau chasseur ("A" comme Apollo) est x et y. L'accélération ressentie dans ce repère relatif est donc l'accélération précédente plus la partie Coriolis, plus la partie liée à la rotation du référentiel. La force subie par le vaisseau A est la force de Newton estimée au point A. La développement entre la force en S et en A qui est très proche (par rapport au centre de la terre) donne des termes linéaires dans les équations.

La position et la vitesse relative r = xe_x + ye_y et v_r = x′e_x + y′e_y
La vitesse absolue est la somme de la vitesse d’entraînement et de la vitesse relative : v_a = v_e + v_r
L’accélération absolue γ_a est la somme de l’accélération d’entraînement, de l’accélération relative et de l’accélération de Coriolis

γ_a = γ_e + γ_r + γ_c
avec γ_c = 2ω × r et γ_r = x′′e_x + y′′e_y
La vitesse et l’accélération d’entraînement sont celles d’un mouvement circulaire, soit : v_e = ω × r
L’accélération d’entraînement est exactement l’accélération du vaisseau cible. C’est donc la valeur de la force de Newton :

γ_e = -GM∕(R²)e_x et on a ω² = (GM∕R³)
or l’accélération d’entraînement est par définition

γ_e = dω∕dt × r + ω × v_e avec ω = (GM∕R³)^1∕2 constante.
tandis que l’accélération de Coriolis est :

γ_c = 2(-ωy′e_x + ωx′e_y) et ω × (ω × r) = -ω²xe_x - ω²ye_y

Mais, l’accélération absolue est la force de Newton appliquée sur le vaisseau chasseur :
γ_a = -GM((R + x)e_x + ye_y)∕∣((R + x)e_x + ye_y)∣³

On obtient donc le développement de :
γ_a - γ_e = GM(Re_x∕R³ - ((R + x)e_x + ye_y)∕∣((R + x)e_x + ye_y)∣³ or

((R + x)e_x + ye_y)∕∣((R + x)e_x + ye_y)∣³ =
= (1∕R²)(1 + (x∕R)e_x + (y∕R)e_y)(1 - (3∕2)(2x∕R) + ...)
ce qui nous donne :
γ_a - γ_e = -(GM∕R³)((1 - 3)xe_x + ye_y) + ... = -ω²(-2xe_x + ye_y) + ...

On a ainsi l’accélération relative :
x′′e_x + y′′e_y = -(ω²(-2xe_x + ye_y) + ...) - 2(-ωy′e_x + ωx′e_y) + ω²xe_x + ω²ye_y

d’où les équations finales à résoudre :

x′′ = 2ωy′ + 3ω²x et y′ = -2ωx′

La solution générale est obtenue en remarquant que
x′′′ = -4ωx′ + 3ω²x′ soit (x′)′′ = ω²(x′)
soit x = B₁cos(ωt) + B₂sin(ωt) + B₃
Substitué dans la deuxième y = C₁ + tC₂ + 2B₂cos(ωt) - 2B₁sin(ωt)

Puis, en écrivant que x(0) = x₀,y(0) = ₀,x′(0) = u₀,y′(0) = v₀, on obtient tout simplement :
x(t) = (2v₀∕ω + 4x₀) - (2v₀∕ω + 3x₀)cos(ωt) + u₀∕ωsin(ωt)
y(t) = (-2u₀∕ω + y₀) - (3v₀ + 6ωx₀)t + 2u₀∕ωcos(ωt) + (4v₀∕ω + 6x₀)sin(ωt)

Quelques exemples, de gauche à droite (vus de différentes hauteurs) 

1) x0=y0=0, u0=-1, v0=0 (on va sur la gauche, Coriolis fait tourner à droite, l'orbite est un cercle), 

2) x0=y0=0, u0=0, v0=1 (on va vers l'avant, puis on recule!) 

3) x0=y0=0, u0=0 v0=-1 (on recule puis on va vers l'avant)