Il existe toutefois un cas particulier pour lequel cela est possible: à savoir lorsque l'on

exhibe une fonction de Lyapounov.
Il s'agit de trouver une fonction V(x), x vecteur, pour un système dynamique de N degrés

On a

=S

= S F_i

Cette fonction, appelée fonction de Lyapounov, décroît en permanence le long de la

trajectoire (sauf en x⁽⁰⁾). x⁽⁰⁾est donc globalement stable.

exemple:

Soit le système de Lorenz (voir la fin du chapitre):

x' = s (y - x)

y' = r x - y - x z

z' = -bz + x y.

Pour rcompris entre 0 et 1, on vérifie que l'origine est un point fixe globalement stable.
Sa stabilité globale est étudiée à l'aide d'une fonction de Lyapounov qu'il faut intuiter! On

vérifie que la fonction:

V = (1/2) (x²+sy²+ sz²)

convient.

V(0,0,0) = 0 et V> 0 pour x,y,z[!]0,0,0.

dV/dt =s (y - x) x + sy (r x - y - x z) + sz ( -bz + x y).

dV/dt = - s(x²+y²-(r+1) x y + b z²)

Or z²>0 et x²+y²-(r+1) x y >0 pour rcompris entre 0 et 1. C'est bien une fonction de

Lyapounov. Le point fixe (0,0,0) est globalement stable.

4.Systèmes à un degré de liberté.

c28 Décembre 1997p 8