Cette équation est une équation modèle qui ne provient pas de l'étude d'un phénomène
physique, cependant son comportement rappelle l'instabilité de Rayleigh Bénard: par
chauffage on passe d'une solution stationnaire de repos à une solution encore stationnaire
mais structurée (en hexagones ou en rouleaux...) avec une fréquence spatiale précise. Ce

modèle est issu de l'équation dite de Swift-Hohenberg.

5.2 Décomposition en modes

Les conditions aux limites sont automatiquement satisfaites si on cherche la solution sous

la forme de ladécomposition suivante en séries de Fourier:

u =SA_n(t)sin(npx/L) pour 1<=n<=[!].

Il y a donc un nombre infini de degrés de liberté. On va obtenir par substitution un

système de la forme:

dA_n/dt
= F_n(A₁, ...,A_n)

En introduisant l'expression de la série dans l'équation SH et après quelques
manipulations (on utilise en particulier l'identitésin(a+b)+sin(a-b)=2sina cos b eton

modifie astucieusemnt les indices dans les sommes ) il vient

S₁^[!]dAⁿ(t)/dt sin(npx/L) =

S₁^[!](m-((np/L)²+1)²)A_n(t) sin(npx/L)+

a/2S₂^[!]A_n-1sin(npx/L)+

a/2
S₁^[!]A_n+1sin(npx/L)+

b S₁^[!]np/(2L)sin(npx/L) [S_p=1^[!]A_n+pA_p] - b S₁^[!]sin(npx/L) [S_p=1^n-1A_n-pA_p pp/(2L)]
C'est l'équation complète qui a été réécrite. Cette égalité impose une infinité d'équations

différentielles ordinaires pour les variables A_n, qui sont:
dAⁿ(t)/dt sin(npx/L) =

(m-((np/L)²+1)²) A_n(t) sin(npx/L)+a/2A_n-1sin(npx/L)+a/2A_n+1sin(npx/L)+
[!]n-1
bnp/(2L)sin(npx/L) [_SA_n+pA_p] - b S₁^[!]sin(npx/L) [_SA_n-pA_p pp/(2L)].

p=1p=1

5.3 Cas Particuliers

i) si

a=b=0

ce système est uniquement linéaire etles équations sontdécouplées:

dA_n(t)/dt = (m-((np/L)²+1)²)A_n(t)

=> c'est facile, A_nne dépend que du même mode n. On a en fait décomposé sur une

"base de modes normaux".

c28 Décembre 1997p 14